Приближенные методы решений. Как уже ранее упоминалось, получить аналитические решения дифференциального уравнения теплопроводности очень трудно, за исключением случаев простейших геометрических и граничных условий. С другой стороны, почти для любого случая приближенные решения могут быть получены численными, графическими и экспериментальными методами.

Они часто оказываются весьма полезными на ранней стадии проектирования, когда геометрические формы, материалы и граничные условия приходится непрерывно пересматривать. Численные и графические методы представляют собой различные виды решения уравнений в конечных разностях, преобразованных из трудно-решаемых аналитическим путем дифференциальных уравнений. Хотя эти методы громоздки, они могут дать весьма полезные количественные данные для предварительных расчетов.

В качестве примера рассмотрим метод релаксации для стационарной теплопроводности при решении задач двухмерной теплопроводности. Сначала должно быть определено поперечное сечение, через которое проходит тепловой поток, затем на него наносится квадратная сетка, с тем чтобы линии сетки по возможности совпадали с основными границами поперечного сечения (физическими границами и адиабатическими поверхностями).

Размеры сетки должны быть такими, чтобы поперечное сечение было разделено на удобное число квадратов, которое соответствовало бы сложности решаемой задачи. Сетка из 10X10 квадратов часто оказывается достаточной, каждая точка пересечения линий в сетке соответствует материалу, расположенному в окружающем ее квадрате, а каждая линия между двумя точками изображает тепловое сопротивление между смежными элементами материала.

Рассмотрим схему. Предположим, что поток тепла распространяется лишь в направлении х и у, через фиктивные стержни длиной. Каждая точка изображает тепловой сток, соответствующий переносу тепла в том или другом направлении по стержням, встречающимся в этой точке. Величина теплового потока, распространяющегося по любому из стержней, принимается равной тепловому потоку, проходящему через квадратную ячейку со стороной Ах.