Другое преимущество метода Лагранжа, как уже отмечалось, заключается в возможности учитывать произвольные интегральные ограничения при помощи множителей Лагранжа. Тогда принцип Гамильтона для определения уравнений движения с учетом ограничений можно применить к новой функции L + Xf, где X - постоянная. Первый интеграл приводит к вышеприведенному уравнению Эйлера - Лагранжа, а второй интеграл дает дополнительный член

Однако dt=0, так как в принципе Гамильтона виртуальные перемещения динамической траектории рассматриваются лишь в фиксированные моменты времени. Уравнения ограничений часто не выражаются в элементарной форме f(xu t)-Q. В частности, могут появиться ограничения в виде интегралов. В этом случае составляем новую функцию L + Xg и действуем, как и выше.

Так как допускается зависимость g от Xi и Хи то функция L+Xg должна удовлетворять уравнению Эйлера - Лагранжа. Если g не зависит от хи снова приходим к уравнению; таким образом, видим, что эти два типа ограничений эквивалентны. В качестве примера применения множителей Лагранжа рассмотрим полет ракеты, движение которой ограничено окружностью постоянного радиуса R.

Разрешая второе уравнение относительно X, получаем X = ve dm/dt - mrfc. Первый член равен радиальной составляющей тяги двигателя ракеты F, второй член равен центробежной силе F, следовательно, множитель Лагранжа как раз равен ограничивающей силе, которая должна быть приложена к ракете, ' чтобы она двигалась по указанной окружности.