Для рассматриваемого одномерного движения системы необходимо кинетическую энергию записать в функции положения и скорости вдоль оси х или Т = Т (х, х), а потенциальную энергию - в функции лишь положения V=V(x).

Функция Лагранжа записана как явная функция времени, хотя зависимость от времени может быть скрыта вариацией положения по времени. Как известно из дифференциального исчисления, условием экстремума относительно одной переменной любой функции одного или нескольких переменных является равенство нулю производной от этой функции по переменной, относительно которой ищется экстремум.

Здесь дифференцировать под знаком интеграла можно, так как интегрирование производится по переменной t, которая сама не является функцией а. Желательно привести это выражение к более компактной форме, в которой переменная а в уравнении не будет фигурировать в квадратных скобках под знаком Интеграла.

Для этого проинтегрируем второй член по частям в соответствии с обычным правилом. Для того чтобы этот интеграл был равен нулю для любой произвольной вариации траектории проинтегрированное выражение должно быть тождественно равно нулю. В результате получим уравнение Эйлера - Лагранжа движения консервативной динамической системы.

Главное преимущество использованного метода заключается в том, что для описания движения системы необходимо знать лишь две функции Т и V, в то время как при применении уравнений Ньютона необходимо знать все силы, действующие во время движения системы.

Формализм Лагранжа может быть распространен на случай неконсервативных сил (т. е. сил, которые не получаются из скалярной потенциальной функции). В качестве примера можно привести тягу ракеты или диссипацию энергии вследствие сопротивления воздуха. Приведем соответствующую формулу без вывода: