Работы, посвященные этой задаче, были выполнены с помощью числовых расчетов с использованием сложных теорий возмущения для случаев, когда влияние одного тела больше, чем всех других. Эти методы все еще широко используются в настоящее время, но расчеты теперь производятся на вычислительных машинах.

Обозначим массу тела, создающего гравитационное поле, через trig, а массу ракеты - через mv. Кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии отдельных масс, движущихся вокруг центра масс. Так как нас не интересует движение центра масс системы, первый член уравнения в дальнейшем опустим. (Это эквивалентно приведению к системе координат, движущейся со скоростью R относительно инерциальной системы координат.)

На основании закона всемирного тяготения Ньютона потенциальная энергия взаимодействия зависит только от расстояния между центрами масс г в соответствии с уравнением. Теперь можно применить уравнение Лагранжа по отдельности к г и 9 и найти площади, ометаемой радиусом-вектором орбитального тела, постоянна.

Другим важным выводом является то, что момент рь является постоянным, так как координата 9 не входит в уравнение Лагранжа в явном виде. Следовательно, фактически это общее свойство метода Лагранжа. Если координата не входит явно в L, то момент, соответствующий этой координате, постоянен. Для решения дифференциального уравнения используем уравнение для 9, чтобы получить уравнение для г.

Преобразовывая последнее уравнение (умножая на г и интегрируя по времени), можно показать, что общая энергия в этой консервативной системе, определяемой уравнением должна быть постоянная.
Таким образом, задача сводится к решению уравнения первого порядка, что позволяет разрешить уравнение относительно г.

Прежде чем находить г и 9 как отдельные функции времени, найдем уравнение орбиты, т. е. найдем г как функцию 9, исключая время путем использования первого из уравнений. Это уравнение является уравнением конического сечения с эксцентриситетом.

Эллиптические орбиты получаются в том случае, когда потенциальная энергия (отрицательная величина) в уравнении для общей энергии является доминирующей. Для приложения этих уравнений орбит к случаю движения около невращающейся Земли радиуса Re рассмотрим траекторию полета.

Угол траектории к горизонту в момент запуска (фактически в момент достижения скорости vb) равен