Хотя этот пример не представляет большого интереса для динамики самолетов и ракет, он иллюстрирует применение множителей Лагранжа. Ограничения редко накладываются на геометрическую траекторию, чаще они выражаются в интегральной форме. Например, такое ограничение будет иметь место, если при определении экстремалей расход топлива, дальность полета и т. д. должны быть постоянны.

Если требуется найти условия, при которых интеграл от некоторой функции обращается в экстремум, при условии что интеграл от другой функции остается постоянным, достаточно применить указанный метод множителей Лагранжа и решить получившиеся в результате дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа для функции.

Далее будет показано, что этот метод особенно удобен при определении оптимальных условий полета с малым ускорением на большом удалении от тел - источников гравитации. Свободный баллистический полет. Рассмотрим теперь несколько специальных случаев движения летательных аппаратов в космическом пространстве.

Вначале изучим плоское движение в центральном гравитационном поле при отсутствии внешних неконсервативных сил в следующих случаях:

1) Свободный полет ракеты достаточно близок от Земли; тогда влияние гравитационных полей других тел на движение ракеты мало и им можно пренебречь.

2) Свободный полет между орбитами планет солнечной системы, при условии что начальная, промежуточная и конечная точки траектории полета удалены на достаточно большое расстояние от планет и гравитационным полем этих планет можно пренебречь по сравнению с полем Солнца.

3) Свободный полет в межзвездном пространстве вблизи какого-нибудь одного источника гравитации.
Включение более чем одного источника гравитационных сил приводит к классической проблеме многих тел, решение которой в замкнутой форме еще не получено.